P256 VRF实现及其改造

• P256 VRF实现及其改造
  • 公式推导
    • H1:把任意信息映射到曲线上的点
    • H2: 映射任意信息为(1,q)
    • 计算随机数
    • 随机数的proof
    • 如何验证
      • 生成gr,hr
    • VRF优点
  • 针对S256曲线的改造
    • 1. 使用S256曲线
    • 2. 修改H1
    • 3. 替换点乘
  • 参考文献

P256对应的椭圆曲线是: $$ y^2=x^3-3x+b $$

公式推导

假设k是私钥,G是公钥($g^k$) m:表示已知的公共信息,比如当前要出的块号100

H1:把任意信息映射到曲线上的点

思路也很简单,将Hash(m)(注意是256位hash)作为曲线上的X,然后带入上述椭圆曲线公式,求出相应的Y即可.

H2: 映射任意信息为(1,q)

这个也很简答,就是Hash(...)%q即可.

计算随机数

$$ h=H_1(m) \ v=VRF_k(m)=h^k $$ 这就是所谓的可验证随机数,那么怎么让他可验证呢?

随机数的proof

随机生成一个r,然后计算 $$ s=H_2(g,h,G,v,g^r,h^r) \ t=r-sk (mod p) $$

然后把(v,s,t)一起打包发给验证方,

如何验证

上述信息中已知的有:

1. g: 曲线公共参数
2. h: H1(m) ,因为m已知,Hash方法也是已知
3. G: 公钥
4. v: 随机数,验证方明文收到
5. t: 验证法明文收到
6. s: 验证法明文收到

生成gr,hr

$$ g^r
=g^{t+ks} =g^t \cdot g^{ks} =g^t \cdot {g^k}^s =g^t \cdot G^s $$ $$ h^r =h^{t+ks} =h^t \cdot h^{ks} =h^t \cdot {h^k}^s =h^t \cdot v^s $$

虽然验证人不知道k,也不知道r,但是知道h,g,G,v,s,t所以他可以计算出$s2=H_2(g,h,G,v,g^t \cdot G^s,h^t \cdot v^s)$ 然后验证s2是否和s相等,如果相等,那就是k持有人按照规则计算出的随机数

VRF优点

1. 验证人只知道m,在k持有人没有广播之前不知道随机数是什么
2. k持有人无法伪造随机数,否则过不了验证人. 这就是所谓的随机数(除了k之外,其他任何人事先不知道) 可验证(知道k公钥的任何人都知道k生成的随机数是否合规)

针对S256曲线的改造

谷歌给出的例子是针对P256的,但是无论是比特币还是以太坊及其衍生链,采用的都是S256曲线. 那么经过简单的改造就可以在S256曲线上使用VRF

1. 使用S256曲线

将使用的P256直接换成S256

copy
//curve  = elliptic.P256()
    curve=btcec.S256()
    params = curve.Params()

2. 修改H1

前面提到H1实际上是把任意信息映射到曲线上的点,P256方案采用的曲线是 $y^2=x^3-3x+b$,而S256曲线是$y^2=x^3+b$,稍微有一些区别,因此计算$y^2$的方法要修改

copy
// Use the curve equation to calculate y² given x.
// only applies to curves of the form y² = x³ - 3x + b.
func y2(curve *elliptic.CurveParams, x *big.Int) *big.Int {

    // y² = x³ - 3x + b
    x3 := new(big.Int).Mul(x, x)
    x3.Mul(x3, x)

    //threeX := new(big.Int).Lsh(x, 1)
    //threeX.Add(threeX, x)
    //
    //x3.Sub(x3, threeX)
    x3.Add(x3, curve.B)
    x3.Mod(x3, curve.P)
    return x3
}

3. 替换点乘

P256代码中的ScalarMult和ScalarBaseMult都是使用的params上的方法,这个方法是在go标准库中的.标准库针对的椭圆曲线并不是S256,而是$y^2=x^3+b$,因此不能使用,要替换成curve上的想用方法.

把params.ScalarBaseMult替换成curve.ScalarBaseMult 把params.ScalarMult替换成curve.ScalarMult

参考文献

google VRF spectrum 基于S256的VRF